Question

【題目】已知，設(shè)成立； 成立. 如果“”為真，“”為假，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析:若命題p為真,通過分離參變量求出函數(shù)，在時的最小值,可得m的取值范圍;若命題q為真,則在有解,構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值,可得m的取值范圍; “”為真，“”為假,即與一真一假,分類討論解出m的范圍.

試題解析:

若為真，則對恒成立. 設(shè)，

配方得，∴在上的最小值為－3，∴解得，

∴為真時， .若為真，則成立，即成立.

設(shè)，則在上是增函數(shù)，∴的最大值為，

∴∴為真時， ∵“”為真，“”為假，∴與一真一假.

當真假時， ,∴　

當假真時， ∴

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

點睛: 本題考查全特稱命題的真假判斷以及通過恒成立有解問題轉(zhuǎn)化的函數(shù)最值問題.對全稱(存在性)命題進行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進行否定；②對原命題的結(jié)論進行否定.判定全稱命題“x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判定一個全稱命題是假命題，只要舉出集合M中的一個特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判斷存在性命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則就是假命題.