Question

已知過點A(－4,0)的動直線l與拋物線G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C兩點．當直線l的斜率是時，＝4 .

(1)求拋物線G的方程；

(2)設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

解：(1)設B(x1，y1)，C(x2，y2)，當直線l的斜率為時，l的方程為y＝(x＋4)，即x＝2y－4.

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，

∴

又∵＝4，∴y2＝4y1，③

由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，

則拋物線G的方程為x2＝4y.

(2)設l：y＝k(x＋4)，

BC的中點坐標為(x0，y0)，

由得x2－4kx－16k＝0，④

∴x0＝＝2k，

y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.

∴線段BC的中垂線方程為

y－2k2－4k＝－(x－2k)，

∴線段BC的中垂線在y軸上的截距為：

b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

對于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．

故b的取值范圍為(2，＋∞)．