Question

6．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|，
（1）當(dāng)a=4時，寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=4時，求f（x）在區(qū)間（1，$\frac{9}{2}$）上最值；
（3）設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）將a=4代入函數(shù)的解析得出f（x）=x|x-4|，將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究其單調(diào)性即可
（2）當(dāng)a=4時，根據(jù)函數(shù)的圖象和單調(diào)性，進行求解即可求最值．
（3）a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值說明在函數(shù)最值不在區(qū)間端點處取得，在這個區(qū)間內(nèi)必有兩個極值，由函數(shù)的性質(zhì)確定出極值，由于極值即為最值，故可借助函數(shù)的圖象得m、n的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時，f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{x（z-4），}&{x≥4}\\{x（4-x），}&{x＜4}\end{array}\right.$，對應(yīng)的圖象為：
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2]，[4，+∞）（開區(qū)間不扣分）
（2）因為a＞2，x∈[1，2]時，所以f（x）=x（a-x）=-x²+ax=$-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$
當(dāng)1＜$\frac{a}{2}$≤$\frac{3}{2}$，即2＜a≤3時，f（x）_min=f（2）=2a-4
當(dāng)$\frac{a}{2}$$＞\frac{3}{2}$，即a＞3時，f（x）_min=f（1）=a-1
∴$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2a-4，2＜a≤3\\ a-1，a＞3\end{array}\right.$
當(dāng)a=4時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2]上遞增，則[2，4]上遞減，則[4，$\frac{9}{2}$）上遞增，
∵f（2）=4，f（4）=0，
∴此時函數(shù)的最大值為4，最小值為0．
（Ⅲ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（x-a），x≥a\\ x（a-x），x＜a\end{array}\right.$

①當(dāng)a＞0時，圖象如上圖左所示
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a^2}{4}\\ y=x（x-a）\end{array}\right.$得$x=\frac{{（\sqrt{2}+1）a}}{2}$
∴$0≤m＜\frac{a}{2}$，$a＜n≤\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}a$
②當(dāng)a＜0時，圖象如上圖右所示
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{a^2}{4}\\ y=x（a-x）\end{array}\right.$得$x=\frac{{（1+\sqrt{2）}}}{2}a$
∴$\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}a≤m＜a$，$\frac{a}{2}＜n≤0$

點評 本題考點是函數(shù)的最值及其幾何意義，綜合考查了二次函數(shù)的圖象，最值等知識以及配方法求最值的技巧．解題時數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化靈活，綜合性很強．