Question

5．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，各棱與平面A₁B₁CD所成的角可為0°，45°，各面的對角線與平面A₁B₁CD所成的角可為0°，90°，30°．

Answer 1

分析 畫出正方體，可以看出所有與AB平行的棱和平面A₁B₁CD成0°角，容易說明BC₁⊥平面A₁B₁CD，從而可以求出其它棱和該平面成的角都為45°．可以看出面對角線B₁C，A₁D和平面A₁B₁CD成0°角，而由前面知BC₁，AD₁和該平面成90°角，其它的面對角線和該平面所成角按線面角的求法求出即可．

解答 解：如圖，
AB∥平面A₁B₁CD；
∴和AB平行的棱與平面A₁B₁CD所成角為0°；
設(shè)BC₁與B₁C交于點O，∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁；
∴BC₁⊥A₁B₁，又BC₁⊥B₁C，A₁B₁∩B₁C=B₁；
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD；
∴∠BB₁O是BB₁和平面A₁B₁CD所成角，且為45°；
∴和BB₁平行的棱與平面A₁B₁CD所成角為45°；
同樣可得到BC和平面A₁B₁CD所成角為45°；
∴各棱與平面A₁B₁CD所成角可為：0°，45°；
面對角線A₁D和B₁C都在平面A₁B₁CD內(nèi)，∴這兩條對角線和該平面所成角為0°；
BC₁⊥平面A₁B₁CD，∴BC₁，AD₁和該平面成90°角；
連接A₁O，則∠C₁A₁O為面對角線A₁C₁所成角；
在Rt△OA₁C₁中，A₁C₁=2C₁O；
∴$sin∠{C}_{1}{A}_{1}O=\frac{1}{2}$；
∴∠C₁A₁O=30°；
同理可以求出其它對角線和該平面成的角都為30°；
∴各面對角線和平面A₁B₁CD所成角可為：0°，90°，30°．
故答案為：0°，45°；0°，90°，30°．

點評 考查正方形的對角線互相垂直，線面垂直的性質(zhì)，及線面垂直的判定定理，以及直線和平面所成角的定義及求法．