Question

20．如圖，四邊形ABCD是正方形，S為四邊形ABCD所在平面外一點，SA=SB=SC=SD，P，M，N分別是SC，SB，SD上的點，且PC：SP=SM：MB=SN：ND=2：1，求證：SA∥平面PMN．

Answer 1

分析 連結AC、BD，交于點G，取SC的中點H，連接BH、DH、GH，由已知條件推導出面HBD‖面PMN，再由中位線定理得到SA‖GH，由此能證明SA‖面PMN．

解答 證明：連結AC、BD，交于點G，取SC的中點H，連接BH、DH、GH，
∵四邊形ABCD是正方形，S為四邊形ABCD所在平面外一點，
SA=SB=SC=SD，P，M，N分別是SC，SB，SD上的點，且PC：SP=SM：MB=SN：ND=2：1，
∴$\frac{SP}{PH}=\frac{SM}{MB}=\frac{SN}{ND}=2$，
∴PM∥HB，PN∥HD，
∵PM∩PN=P，HB∩HD=H，
PM?平面PMN，PN?平面PMN，HB?平面HBD，HD?平面HBD，
∴面HBD‖面PMN
又GH?面HBD，所以GH‖面PMN
在△SAC中，G、H分別是AC、SC中點，∴SA‖GH，
綜上所述，SA‖GH，GH‖面PMN，
∴SA‖面PMN．

點評 本題考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．