Question

5．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）的距離之積等于9的點的軌跡．給出下列命題：
①曲線C過坐標(biāo)原點；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；
③若點P在曲線C上，則△F₁PF₂的周長有最小值10；
④若點P在曲線C上，則△F₁PF₂面積有最大值$\frac{9}{2}$．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)定義求出曲線C的方程，根據(jù)方程特點判斷①，②，根據(jù)基本不等式判斷③，把y²看作x²的函數(shù)，解出y²，得出S=2y，求出y的范圍即可得出S的范圍．

解答 解：設(shè)曲線C上任意一點的坐標(biāo)為P（x，y），則[（x+2）²+y²]•[（x-2）²+y²]=81，
①把x=0，y=0代入上式得1=81，故曲線C不經(jīng)過原點，故①錯誤；
②把（-x，y）代入上式得[（-x+2）²+y²][（-x-2）²+y²]=[（x-2）²+y²][（x+2）²+y²]=81，
∴曲線C關(guān)于y軸對稱，
把（x，-y）代入上式顯然也成立，故曲線C關(guān)于x軸對稱，故②正確；
③∵|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{|PF1|•|PF2|}$=2$\sqrt{9}$=6，
∴△F₁PF₂的周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|≥6+4=10，故③正確；
④△F₁PF₂面積S=$\frac{1}{2}×4×y$=2y，∴S²=4y²，
∵[（x+2）²+y²]•[（x-2）²+y²]=81，∴y⁴+（2x²+8）y²+（x²-4）²-81=0，
∴y²=$\sqrt{24{x}^{2}+81}$-x²-4或y²=-$\sqrt{24{x}^{2}+81}$-x²-4（舍）．
設(shè)$\sqrt{24{x}^{2}+81}$=t，則x²=$\frac{{t}^{2}-81}{24}$，
∴y²=t-$\frac{{t}^{2}-81}{24}$-4=-$\frac{1}{24}$t²+t-$\frac{5}{8}$=-$\frac{1}{24}$（t-12）²+$\frac{43}{8}$，
∴當(dāng)t=12時，y²取得最大值$\frac{43}{8}$，即S的最大值為2$\sqrt{\frac{43}{8}}$，故④錯誤．
故選C．

點評 本題考查了軌跡方程的求解，基本不等式及函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．