Question

15．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，拋物線E：x²=4y的焦點B是雙曲線虛軸上的一個頂點，若線段BF與雙曲線C的右支交于點A，且$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{AF}$，則雙曲線C的離心率為$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知b=1，求出A點坐標，代入雙曲線方程化簡即可得出a，c的關(guān)系，從而得出離心率的值．

解答 解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．
設(shè)A（m，n），則$\overrightarrow{BA}$=（m，n-1），$\overrightarrow{AF}$=（c-m，-n），
∵$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{AF}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=3c-3m}\\{n-1=-3n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}c}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{3}{4}c$，$\frac{1}{4}$），
∵A在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1的右支上，
∴$\frac{9{c}^{2}}{16{a}^{2}}$-$\frac{1}{16}$=1，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{17}{9}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，平面向量的運算，屬于中檔題．