Question

14．已知△ABC的三個頂點都在拋物線y²=2x上，拋物線的焦點為F，若|AF|，|BF|，|CF|為等差數(shù)列，且點B的橫坐標為$\frac{2}{3}$，則邊AC的垂直平分線必經(jīng)過點（　　）

• A． （1，0）
• B． （$\frac{4}{3}$，0）
• C． （$\frac{5}{3}$，0）
• D． （2，0）

Answer 1

分析 由焦點弦的性質可得：|AF|=${x}_{A}+\frac{1}{2}$，|BF|=$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，|CF|=${x}_{C}+\frac{1}{2}$．設線段AC的中點為M（a，b），利用|AF|，|BF|，|CF|為等差數(shù)列可得：$a=\frac{2}{3}$，由于${y}_{A}^{2}=2{x}_{A}$，${y}_{C}^{2}=2{x}_{C}$，相減可得：bk_AC=1．線段AC的垂直平分線的方程為：y-b=-b（x-$\frac{2}{3}$），即可得出定點．

解答 解：|AF|=${x}_{A}+\frac{1}{2}$，|BF|=$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，|CF|=${x}_{C}+\frac{1}{2}$，
∵|AF|，|BF|，|CF|為等差數(shù)列，
∴2|BF|=|AF|+|CF|，
∴$\frac{7}{3}$=${x}_{A}+\frac{1}{2}$+${x}_{C}+\frac{1}{2}$，
化為x_A+x_C=$\frac{4}{3}$．
設線段AC的中點為M（a，b），則$a=\frac{2}{3}$，
∵${y}_{A}^{2}=2{x}_{A}$，${y}_{C}^{2}=2{x}_{C}$，
∴$\frac{（{y}_{A}+{y}_{C}）（{y}_{A}-{y}_{C}）}{{x}_{A}-{x}_{C}}$=2，
∴2bk_AC=2，即bk_AC=1．
∴線段AC的垂直平分線的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=-b，
其方程為：y-b=-b（x-$\frac{2}{3}$），
因此必過定點$（\frac{5}{3}，0）$．
故選：C．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、焦點弦長公式、線段的垂直平分線方程、“點差法”、等差數(shù)列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．