Question

8．把公差為2的等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)依次插入等比數(shù)列{b_n}的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、…、第n項(xiàng)后，得到數(shù)列{c_n}：b₁，a₁，b₂，a₂，b₃，a₃，b₄，a₄，…，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知c₁=1，c₂=3，S₃=$\frac{17}{4}$．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=2012•b_n+a_n，閱讀程序框圖寫出輸出項(xiàng)，并指出此時(shí)輸出項(xiàng)在{T_n}中的一種含義．
（3）若第（2）題中判斷框T_i＜15改為T_i＜50，閱讀程序框圖寫出所有輸出項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，c₁=b₁=1，c₂=a₁=3，再根據(jù)S₃可以計(jì)算出b₂=$\frac{1}{4}$，從而得出等比數(shù)列{b_n}的公比，最后根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列{T_n}的通項(xiàng)公式，可得T₁＞T₂＞T₃＞T₄＞T₅＞15＞T₆＜T₇＜T₈＜…，可知滿足T_n＜15的項(xiàng)即輸出項(xiàng)只有T₆=14.96．T₆恰好是{T_n}中的最小項(xiàng)；
（3）分析數(shù)列{T_n}的各項(xiàng)，輸出項(xiàng)的和為：T₄+T₅+T₆+T₇+T₈+…+T₂₄，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求值．

解答 解：（1）由題意，b₁=1，a₁=3，
S₃=b₁+a₁+b₂=$\frac{17}{4}$，故b₂=$\frac{1}{4}$，
所以a_n=2n+1，b_n=（$\frac{1}{4}$）^n-1，
（2）∵T_n=2012•（$\frac{1}{4}$）^n-1+2n+1，
∴T₁＞T₂＞T₃＞T₄＞T₅＞15＞T₆＜T₇＜T₈＜…，
所以，由程序框圖可知滿足條件T_n＜15的項(xiàng)即輸出項(xiàng)只有T₆=14.96．
T₆恰好是{T_n}中的最小項(xiàng)．
（3）∵T₁＞T₂＞T₃＞50＞T₄＞T₅＞T₆＜T₇＜T₈＜…＜T₂₄＜50＜T₂₅＜T₂₆＜…，
∴輸出項(xiàng)的和=T₄+T₅+T₆+T₇+T₈+…+T₂₄=2012$•\frac{（\frac{1}{4}）^{3}•[1-（\frac{1}{4}）^{21}]}{1-\frac{1}{4}}$+$\frac{21•（9+49）}{2}$=$\frac{503}{12}•[1-（\frac{1}{4}）^{21}]+609$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及數(shù)列的函數(shù)特征，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系，準(zhǔn)確運(yùn)用通項(xiàng)公式，研究數(shù)列的單調(diào)性，是解決本題的關(guān)鍵．