Question

如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,直線與圓相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 

 

Answer 1

（Ⅰ）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

，圓的圓心為,半徑.

由,得直線,

即,          

由直線與圓相切,得,

或(舍去).  -----------------------------------2分

當(dāng)時(shí), , 

故橢圓的方程為 ---------------------------------4分

（Ⅱ）(方法一)由知,從而直線與坐標(biāo)軸不垂直,

由可設(shè)直線的方程為，

直線的方程為.                                 

將代入橢圓的方程

并整理得: ,-----------------------------------6分

解得或,因此的坐標(biāo)為,

即  ------------------------------------------8分                        

將上式中的換成,得.     

直線的方程為

化簡(jiǎn)得直線的方程為，      

因此直線過(guò)定點(diǎn).     ---------------------------------12分              

 (方法二)由題直線的斜率存在，則可設(shè)直線的方程為：

，                

代入橢圓的方程并整理得:

,              

設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則是上述關(guān)于的方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，從而

            

由得

，

整理得： 由知.

       此時(shí), 因此直線過(guò)定點(diǎn).