Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x+1）²，若存在實(shí)數(shù)a，使得f（x+a）≤2x-4對任意的x∈[2，t]恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（　�。�

• A． 10
• B． 8
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 先由f（x）=（x+1）²和f（x+a）≤2x-4得（x+a+1）²≤2x-4，化簡得（x+a）²+2a+5≤0，令g（x）=（x+a）²+2a+5，利用函數(shù)性質(zhì)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為g（2）≤0且g（t）≤0，求解t的范圍，最后求出最值．

解答 解：∵f（x）=（x+1）²，
∴f（x+a）≤2x-4，即為（x+a+1）²≤2x-4，
化簡（x+a）²+2a+5≤0，
設(shè)g（x）=（x+a）²+2a+5，g（x）圖象為開口向上的拋物線，
若對任意的x∈[2，t]，g（x）≤0恒成立，只需函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值非正即可，
即g（2）=a²+6a+9≤0，配方得（a+3）²≤0則a+3=0，a=-3
  此時(shí)g（t）≤0即為g（t）=（t-3）²-1≤0即-1≤t-3≤1，解得2≤t≤4，
 又∵t＞2，
∴2＜t≤4，
 則t的最大值為4．
故選：D．

點(diǎn)評 恒成立問題的轉(zhuǎn)化，本題利用了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解，是一種重要的方法．