Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂x-log_x2（0＜x＜1），數(shù)列{a_n}滿足f（2^a_n ）=2n（n∈N₊）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由f（2^a_n ）=2n（n∈N₊），可得$lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}}$=2n，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其一元二次方程的解法可得：a_n=$±\sqrt{{n}^{2}+1}$，根據(jù)0＜${2}^{{a}_{n}}$＜1，可得a_n＜0，即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=-$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$．利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵f（2^a_n ）=2n（n∈N₊），
∴$lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}}$=2n，
∴a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，化為${a}_{n}^{2}$-2na_n-1=0，
解得a_n=$\frac{2n±\sqrt{4{n}^{2}+4}}{2}$=n$±\sqrt{{n}^{2}+1}$，
∵0＜${2}^{{a}_{n}}$＜1，∴a_n＜0，
∴a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+1}$．
（2）由（1）可得：a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+1}$=-$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$．
∵f（n）=$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$關(guān)于n單調(diào)遞減，∴g（n）=-$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$關(guān)于n單調(diào)遞增．
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．