Question

【題目】己知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.

①求證：是直角三角形；

②求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）解方程組即可；

（2）①設(shè)直線PQ的斜率為k.則其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得到坐標(biāo)，再由QG與橢圓方程聯(lián)立得到G點坐標(biāo)，證明斜率乘積等于即可；②利用兩點間的距離公式算得的長度，將三角形的面積用k表示，再結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.

（1）由題意，，，，

解得，

所以橢圓的方程為：.

（2）①：設(shè)直線PQ的斜率為k.則其方程為.

由，得.

記，則，，.

于是直線QG的斜率為，方程為.

由得.①

設(shè)，則和是方程①的解，

故，由此得.

從而直線PG的斜率為.

所以，即是直角三角形.

②：由①得，，

所以的面積，

又，所以.

設(shè)，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

因為，而在單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，即時，S取得最大值，最大值為.

因此，面積的最大值為.