Question

知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，橢圓C過點(-

3

，1)且與拋物線y²=-8x有一個公共的焦點．
（1）求橢圓C方程；
（2）直線l過橢圓C的右焦點F₂且斜率為1與橢圓C交于A，B兩點，求弦AB的長；
（3）以第（2）題中的AB為邊作一個等邊三角形ABP，求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得c=2，

3

a2

+

1

a2-4

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）直線l的方程為y=x-2，聯(lián)立方程組

y=x-2 x2 6 + y2 2 =1

，得2x²-6x+3=0，由此利用韋達定理能求出|AB|．
（3）設(shè)AB的中點為M（x₀，y₀），由題意得x0=

3

2

，y0=-

1

2

，線段AB的中垂線l₁：y=-x+1，由此能求出點P的坐標．

解答： 解：（1）由題意得 F₁（-2，0），c=2…（2分）
又

3

a2

+

1

a2-4

=1，
得a⁴-8a²+12=0，解得a²=6或a²=2（舍去），…（2分）
則b²=2，…（1分）
故橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（1分）
（2）直線l的方程為y=x-2．…（1分）
聯(lián)立方程組

y=x-2 x2 6 + y2 2 =1

，消去y并整理得2x²-6x+3=0．…（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x₁+x₂=3，x1x2=

3

2

．…（1分）
則|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

6

．…（2分）
（3）設(shè)AB的中點為M（x₀，y₀）．
∵x₁+x₂=3=2x₀，∴x0=

3

2

，…（1分）
∵y₀=x₀-2，∴y0=-

1

2

．…（1分）
線段AB的中垂線l₁斜率為-1，所以l₁：y=-x+1
設(shè)P（t，1-t）…（1分）
所以|MP|=

(t- 3 2 )2+( 3 2 -t)2

=

2

|t-

3

2

|．…（1分）
當△ABP為正三角形時，|MP|=

3

2

|AB|，
得

2

|t-

3

2

|=

3

2

•

6

，解得t=0或3．…（2分）
即P（0，1），或P（3，-2）．…（1分）

點評：本題考查橢圓C方程的求法，考查弦AB的長的求法，考查點P的坐標的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．