Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，是的兩個(gè)零點(diǎn)，求證:.

Answer 1

【答案】（1）上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出的解，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）求出函數(shù)有兩解滿(mǎn)足的條件，再利用零點(diǎn)存在性定理求出其中一個(gè)零點(diǎn)，要證，只需證，即證，根據(jù)式子特征，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，，證明，得出，即可證明結(jié)論.

（1）由條件可知，函數(shù)的定義域是.

由可得.

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

，則在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.所，

①當(dāng)時(shí)，即，

此時(shí)至多1個(gè)零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足條件；

②當(dāng)，即，即，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增且，

所以，

所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，

則；

當(dāng)時(shí)，令，

則，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.所以，

所以，，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，，

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，

所以在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

則，所以，

所以.