Question

【題目】（選修4﹣1：幾何證明選講）
如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于D．

（1）證明：DB=DC；
（2）設圓的半徑為1，BC= ，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DE交BC于點G．

由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，

∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．

又∵DB⊥BE，∴DE為⊙O的直徑，∠DCE=90°．

∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．

（2）證明：由（1）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．

故DG是BC的垂直平分線，∴BG= ．

設DE的中點為O，連接BO，則∠BOG=60°．

從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．

∴CF⊥BF．

∴Rt△BCF的外接圓的半徑= ．

【解析】（1）連接DE交BC于點G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分線可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE為⊙O的直徑，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性質即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分線，即可得到BG= ．設DE的中點為O，連接BO，可得∠BOG=60°．從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．進而得到Rt△BCF的外接圓的半徑= ．