Question

【題目】在數(shù)列{an}，{bn}中，an＝bn+n，bn＝﹣an+1.

（1）證明：數(shù)列{an+3bn}是等差數(shù)列.

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）Sn

【解析】

（1）可將bn＝﹣an+1代入an＝bn+n計(jì)算可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)bn＝﹣an+1可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列{an+3bn}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的定義法可證明數(shù)列{an+3bn}是等差數(shù)列；

（2）先根據(jù)（1）的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可采用錯(cuò)位相減法計(jì)算出前n項(xiàng)和Sn.

（1）證明：由題意，將bn＝﹣an+1代入an＝bn+n，可得

an＝bn+n＝﹣an+1+n，即2an＝n+1，

∴an，n∈N*，

∴bn＝﹣an+11，n∈N*，

∴an+3bn32﹣n，

∵（an+1+3bn+1）﹣（an+3bn）＝2﹣（n+1）﹣（2﹣n）＝﹣1，

∴數(shù)列{an+3bn}是以﹣1為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）知，，

則Sn，

∴Sn，

兩式相減，可得

Sn

（）

，

∴Sn.