Question

16．若關(guān)于x的方程：$\frac{|x|}{x-3}$=kx²有四個不同的實數(shù)根．則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\frac{4}{9}$）．

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化為方程$\frac{1}{x-3}$=k|x|有三個不同的實數(shù)根，作圖象可知k＜0，從而求導(dǎo)，結(jié)合圖象確定實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：易知x=0是方程$\frac{|x|}{x-3}$=kx²的一個實根，
故方程$\frac{1}{x-3}$=k|x|有三個不同的實數(shù)根，
作函數(shù)y=$\frac{1}{x-3}$與y=k|x|的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，k＜0；
當(dāng)直線y=kx與y=$\frac{1}{x-3}$相切時，設(shè)切點為（a，b）；
∵y′=-$\frac{1}{（x-3）^{2}}$，b=$\frac{1}{a-3}$，
∴-$\frac{1}{（a-3）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{a-3}}{a}$，
即a=$\frac{3}{2}$；
此時，k=-$\frac{1}{（\frac{3}{2}-3）^{2}}$=-$\frac{4}{9}$；
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\frac{4}{9}$）．
故答案為：（-∞，-$\frac{4}{9}$）．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．