Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中．

（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是．（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可容易判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可容易判斷.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故可得，

令，解得，

故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>

故當(dāng)時(shí)，，即一定是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).

又當(dāng)時(shí)，令，分離參數(shù)可得：

，令，故可得，

令，解得，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和單調(diào)遞減.

且當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；

又，故的圖像如下所示：

故當(dāng)，即時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)，即可時(shí)，與沒(méi)有交點(diǎn)，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).