Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，

線段恰被拋物線平分．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)直線、、的斜率分別為、、，問(wèn)能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ），，能成公差不為零的等差數(shù)列，直線的方程為：

【解析】

試題分析：（Ⅰ）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)在拋物線上，

∴，，∴(舍) ．                                ……3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：拋物線：，．

設(shè)方程為：，、，則

由得：，

，∴或．，                   ……5分

假設(shè)，，能成公差不為零的等差數(shù)列，則．

而

，                              ……7分

，∴，，解得：（符合題意），

（此時(shí)直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，，不合題意，舍去），

直線的方程為，即． 

故，，能成公差不為零的等差數(shù)列，直線的方程為：.             ……10分

考點(diǎn)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置，一般免不了聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，此時(shí)運(yùn)算量比較大，要仔細(xì)運(yùn)算，而且聯(lián)立之后，不要忘記驗(yàn)證判別式大于零.