Question

18．有兩塊直角三角板：一塊三角板的兩條直角邊的長分別為1，$\sqrt{3}$；另一塊三角板的兩條直角邊的長均為$\sqrt{3}$，已知這兩塊三角板有兩對(duì)頂點(diǎn)重合，且構(gòu)成90°的二面角，則不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離等于2或$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，直角△CBD中，BC=BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，由此求出不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離；②直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，直角△CBD中，BC=CD=$\sqrt{3}$，∠BCD=90°，由此求出不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離．由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵有兩塊直角三角板：一塊三角板的兩條直角邊的長分別為1，$\sqrt{3}$，
另一塊三角板的兩條直角邊的長均為$\sqrt{3}$，
這兩塊三角板有兩對(duì)頂點(diǎn)重合，且構(gòu)成90°的二面角，
∴如圖一：直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，
直角△CBD中，BC=BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，
且平面ABC⊥平面BCD，
∴AB⊥平面BDC，∴AB⊥BD，
∴不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2；
如圖二：直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，
直角△CBD中，BC=CD=$\sqrt{3}$，∠BCD=90°，
且平面ABC⊥平面BCD，
∴$BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，AB⊥平面BDC，∴AB⊥BD，
∴不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{1+6}$=$\sqrt{7}$．
綜上，不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離等于2或$\sqrt{7}$．
故答案為：2或$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩頂點(diǎn)間距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．