Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，PA垂直于⊙O所在的平面ABC
（I）證明：平面PAC丄平面PBC；
（Ⅱ）設PA=$\sqrt{3}$，AC=1，求三棱錐A-PBC的高．

Answer 1

分析 （1）由直徑性質得BC⊥AC，由線面垂直得PA⊥BC，由此能證明平面PAC⊥平面PBC．
（2）過點A作PC的垂線，垂足為D，由已知得AD為三棱錐A-PBC的高，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵PA⊥⊙O所在平面，BC?平面⊙O，
∴PA⊥BC，∴PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PCB，∴平面PAC⊥平面PBC．
解：（2）由（1）的結論平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴過點A作PC的垂線，垂足為D，則AD為三棱錐A-PBC的高，
在Rt△PAC中，PA=$\sqrt{3}$，AC=1，∴PC=2，
由AD×PC=PA×AC，得AD=$\frac{PA×AC}{PC}=\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱錐A-PBC的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．