Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點(diǎn).

（1）當(dāng)， 時(shí)，若點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓的方程；

（2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，探究之間的等量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程是；（2）滿足等量關(guān)系．

【解析】試題分析：

(1)首先利用直線到圓心的距離等于半徑求得 的值，然后結(jié)合幾何關(guān)系求得 的值即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)將原問題轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系整理計(jì)算即可求得 之間的等量關(guān)系.

試題解析：

解：（1）∵直線與相切，∴.

由， ，解得.

∵點(diǎn)都在坐標(biāo)軸正半軸上，

∴.

∴切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為， .

∴， .

∴橢圓的方程是.

（2）設(shè)，

∵以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，

∴，即.

∵點(diǎn)在直線上，

∴.

∴ （*）

由消去，得.

即

顯然

∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

代入（*）式，得.

整理，得.

又由（1），有.

消去，得

∴

∴滿足等量關(guān)系.