Question

12．設M=a{a|a=x²-y²，x，y∈Z}．
（1）求證：2k+1∈M，（其中k∈Z）；
（2）求證：4k-2∉M，（其中k∈Z）
（3）屬于M的兩個整數(shù)，其積是否屬于M．

Answer 1

分析 （1）令x=k+1，y=k，k∈Z；從而證明，
（2）假設4k-2∈M，從而可得4k-2=x²-y²，x，y∈Z，從而可得（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘積，從而證明；
（3）設a₁，a₂∈M，則a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₂y₁+x₁y₂）²∈M．

解答 解：（1）證明：令x=k+1，y=k，k∈Z；
則a=x²-y²=2k+1∈M．
（2）假設4k-2∈M，
那么4k-2=x²-y²，x，y∈Z，
則$\frac{1}{4}$（x²-y²）+$\frac{1}{2}$=k，
則$\frac{1}{4}$（x-y）（x+y）+$\frac{1}{2}$=k，
則（x-y）（x+y）=2k（2k+1），
又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘積，
∴4k-2∉M，（k∈Z）；
（3）設a₁，a₂∈M，則
a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）
=x₁²x₂²+y₁²y₂²-（x₂²y₁²+x₁²y₂²）
=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₂y₁+x₁y₂）²∈M．

點評 本題考查了集合的化簡與運算，屬于基礎題．