Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為_______.

Answer 1

【答案】3

【解析】

要求函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)，可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的個數(shù)。根據(jù)已知條件可判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進而畫函數(shù)的圖象，觀察兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)即可。

令， 因為當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，

所以當(dāng)x＞0時，。所以函數(shù)在上為增函數(shù)。

因為y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以。

所以函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上為減函數(shù)。

因為定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，所以。

所以。做函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示。

由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點。

所以函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為3個。