Question

【題目】選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線 (為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線．

（Ⅰ）求曲線和直線的普通方程；

（Ⅱ）點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）, （2），P

【解析】試題分析：（I）根據(jù)伸縮變換的公式代入原方程,可以得到伸縮后的曲線方程；

（II）利用點(diǎn)P在橢圓上設(shè)出參數(shù)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求三角函數(shù)的最值,并求出取得最值時(shí)的值.

試題解析：（I）由已知有（為參數(shù)），消去得．

將代入直線的方程得

曲線的方程為，直線的普通方程為.

（II）由（I）可設(shè)點(diǎn)為， ．則點(diǎn)到直線的距離為：

故當(dāng)，即時(shí)取最大值．

span>此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．