Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-3x
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式求出f′（x），再求出f（1）和f′（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程并化為一般式；
（2）先求出函數(shù)的定義域，再由f′（x）=0求出函數(shù)的臨界點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．

解答 解：（1）由題意得，$f′（x）=\frac{1}{x}+x-3=\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}$，且$f（1）=-\frac{5}{2}$，
∴切線的斜率k=f′（1）=-1，
∴在（1，f（1））處切線方程：$y=-（x-1）-\frac{5}{2}$，即2x+y+3=0；
（2）函數(shù)的定義域（0，+∞），
由$f′（x）=\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}=0$得，x²-3x+1=0，
解得${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}或{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{3+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}）$，$（\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞）$，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$，
∴當(dāng)$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$時(shí)，f（x）取得極大值$f（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）=ln\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{3\sqrt{5}-11}{4}$，
當(dāng)$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，f（x）取得極小值$f（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）=ln\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{3\sqrt{5}+11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．