Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若平面,，

，求平面與平面所成角（銳角）的大�。�

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）思路一：連接，設(shè)，連接，先證明，從而由直線與平面平行的判定定理得平面；思路二：先證明平面平面，再由平面與平面平行的定義得到平面.

（Ⅱ）思路一：連接，設(shè)，連接，證明兩兩垂直, 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，證明即為所求的角，然后在三角形中求解.

試題解析：

（Ⅰ）證法一：連接，設(shè)，連接，

在三棱臺(tái)中，

為的中點(diǎn)

可得

所以四邊形為平行四邊形

則為的中點(diǎn)

又為的中點(diǎn)

所以

又平面平面

所以平面．

證法二：

在三棱臺(tái)中，

由為的中點(diǎn)

可得

所以四邊形為平行四邊形

可得

在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

所以

又，所以平面平面

因?yàn)?/span>平面

所以平面

（Ⅱ）解法一：

設(shè)，則

在三棱臺(tái)中，

為的中點(diǎn)

由，

可得四邊形為平行四邊形，

因此

又平面

所以平面

在中，由，是中點(diǎn)，

所以

因此兩兩垂直,

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

所以

可得

故

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

由可得

可得平面的一個(gè)法向量

因?yàn)?/span>是平面的一個(gè)法向量，

所以

所以平面與平面所成的解（銳角）的大小為

解法二：

作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接

由平面，得

又

所以平面

因此

所以即為所求的角

在中,

由∽

可得

從而

由平面平面

得

因此

所以

所以平面與平面所成角（銳角）的大小為.