Question

16．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．
（1）求證：CD⊥平面ADP；
（2）若M為線段PC上的點(diǎn)，當(dāng)BM⊥PC時(shí)，求三棱錐B-APM的體積．

Answer 1

分析 （1）利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ADP⊥平面ABCD，然后利用性質(zhì)定理證明CD⊥平面ADP．
（2）取CD的中點(diǎn)F，連接BF，求得BP，所以BC=BP．在平面PCD中過點(diǎn)M作MQ∥DC交DP于Q，連接QB，QA，
利用等體積法轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）
又因?yàn)槠矫鍭DP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP．…（4分）
（2）取CD的中點(diǎn)F，連接BF，
在梯形ABCD中，因?yàn)镃D=4，AB=2，
所以BF⊥CD．
又BF=AD=4，所以BC=$2\sqrt{5}$．
在△ABP中，由勾股定理求得BP=$2\sqrt{5}$．
所以BC=BP．…（7分）
又知點(diǎn)M在線段PC上，且BM⊥PC，
所以點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．…（9分）
在平面PCD中過點(diǎn)M作MQ∥DC交DP于Q，連接QB，QA，
 則V_{三棱錐B-APM}=V_{三棱錐M-APB}=V_{三棱錐Q-APM}=V_{三棱錐B-APQ}=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×4×2）×2$=$\frac{8}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．