Question

6．如圖1，圓O的半徑為2，AB，CE均為該圓的直徑，弦CD垂直平分半徑OA，垂足為F，沿直徑AB將半圓ACB所在平面折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖2）
（Ⅰ）求四棱錐C-FDEO的體積
（Ⅱ）如圖2，在劣弧BC上是否存在一點(diǎn)P（異于B，C兩點(diǎn)），使得PE∥平面CDO？若存在，請(qǐng)加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在圖1中由平面幾何知識(shí)求出梯形FDEO的面積，再由圖2證得CF⊥平面ADE，并求出FE，然后代入棱錐的體積公式得答案；
（Ⅱ）取劣弧BC的中點(diǎn)，利用三角形中的邊角關(guān)系證得四邊形CDEP為平行四邊形，再由線面平行的判定得答案．

解答 解：（Ⅰ）如圖1，∵弦CD垂直平分半徑OA，半徑為2，
∴CF=DF，OF=$\frac{1}{2}OC=1$，
∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=$\sqrt{3}$，
∵CE為直徑，∴DE⊥CD，
∴OF∥DE，DE=2OF=2，
∴${S}_{梯形FDEO}=\frac{1}{2}（OF+DE）•DF=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
圖2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB，
又CF⊥AB，CF?平面ACB，
∴CF⊥平面ADE，則CF是四棱錐C-FDEO的高，
∴${V}_{C-FDEO}=\frac{1}{3}{S}_{梯形FDEO}•CF=\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一點(diǎn)P（劣弧BC的中點(diǎn)），使得PE∥平面CDO．
證明：分別連接PE，CP，OP，
∵點(diǎn)P為劣弧BC弧的中點(diǎn)，∴$∠COP=\frac{1}{2}∠COB$，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，則△COP為等邊三角形，
∴CP∥AB，且$CP=\frac{1}{2}AB$，又∵DE∥AB且DE=$\frac{1}{2}AB$，
∴CP∥DE且CP=DE，
∴四邊形CDEP為平行四邊形，
∴PE∥CD，
又PE?面CDO，CD?面CDO，
∴PE∥平面CDO．

點(diǎn)評(píng) 本題以空間幾何體的翻折為背景，考查空間幾何體的體積，考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、線面平行及線面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，求解運(yùn)算能力和推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合，化歸與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等思想方法，是中檔題．