Question

已知函數(shù)f（x）=

x-a

lnx

，其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a≥1時，判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得對任意x∈（0，1）∪（1，+∞），f（x）＞

x

恒成立？若不存在，請說明理由，若存在，求出a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，引進(jìn)新函數(shù)g（x），通過討論x的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對a分別進(jìn)行討論，綜合得出a=1時，不等式恒成立．

解答： 解：（I）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），
且f′(x)=

lnx- 1 x (x-a)

(lnx)2

=

lnx+ a x -1

(lnx)2

，
令g(x)=lnx+

a

x

-1，
∴g′（x）=

1

x

-

a

x2

，
當(dāng)x＞a時，g'（x）＞0，g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜a時，g'（x）＜0，g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
又a≥1，
∴g（x）≥g_min（x）=g（a）=lna≥0，
∴f'（x）≥0，
∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上均單調(diào)遞增．
（II）（1）當(dāng)a＞0且a≠1時，f(a)=0＜

a

，故不符合；
（2）當(dāng)a≤0時，f(

1

2

)＜0＜

1 2

，故也不符合；
（3）當(dāng)a=1時，f(x)=

x-1

lnx

令h(x)=

x

-

1

x

-lnx，
則h′(x)=

1

2 x

+

1

2x x

-

1

x

=

( x -1)2

2x x

＞0   (x＞0，x≠1)
∴h（x）在（0，1）與（1，+∞）上均單調(diào)遞增，
∴當(dāng)0＜x＜1時，
h(x)=

x

-

1

x

-lnx＜h(1)=0
即f(x)＞

x

當(dāng)x＞1時，h(x)=

x

-

1

x

-lnx＞h(1)=0
即f(x)＞

x

，
故a=1符合．
綜合（1）（2）（3）知，
存在a=1使得f(x)＞

x

恒成立．

點(diǎn)評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．