Question

【題目】在四棱錐中，，，，，分別為的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)，若平面與平面所成銳二面角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析; (2).

【解析】試題分析：(1) 求證：平面ABE⊥平面BEF, 只需證明一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)即可, 注意到AB∥CD，CD⊥AD，AD = 2AB,而分別為的中點(diǎn)，可得四邊形ABCD為矩形，說(shuō)明AB⊥BF，再證明AB⊥EF，由線(xiàn)面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根據(jù)面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，利用平面法向量所成交與二面角的關(guān)系求出二面角的余弦值，根據(jù)給出的二面角的范圍得其余弦值的范圍，最后求解不等式可得a的取值范圍．

試題解析：(Ⅰ)，分別為的中點(diǎn)，

為矩形，2分

∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF

∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF． 4分

(Ⅱ),又，

又,所以面,6分

法一：建系為軸，為軸，為軸,

，,

平面法向量，平面法向量·9分

，可得. 12分

法二：連交于點(diǎn),四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，連,

則,面,,

作于點(diǎn)，所以面,

連,則,即為所求 9分

在中，,

解得12 分