Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若（其中），證明：；

（3）是否存在實數(shù)a，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且關(guān)于x的方程在內(nèi)有唯一解？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）存在滿足題意，理由詳見解析．

【解析】

（1）求出的導數(shù)，分為和兩種情形討論與0的關(guān)系得出單調(diào)性；

（2）求出，根據(jù)單調(diào)性得出，結(jié)合單調(diào)性可得，只需證即可，由分析法可得只需證令，即可，利用導數(shù)判斷單調(diào)性得最值即得結(jié)論；

（3）根據(jù)恒成立先得，然后證明，主要通過對進行二次求導，通過導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得最值即可得結(jié)果.

（1）由已知得：

當時，，在上遞增；

當時，令得

當時，，遞增；

當時，，遞減；

綜上：當時， 的遞增區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，

的遞減區(qū)間為．

（2）∵

∴在遞增，遞減，且

又∵當時，；當時，

∵，∴，∴

要證：成立，只需證：

∵在遞增，故只需證：

即證：

令，只需證：，即證：

令，

∵，∴．證畢

（3）令

∵，且需在區(qū)間內(nèi)恒成立

∴，可得

事實上，當時，，下證：

令，則，所以在遞減，遞增

∴，即，∴

∴在遞減，遞增，

∴在區(qū)間內(nèi)恒成立

∴當時，在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解，證畢.