Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD．M，N分別是AB，PC的中點．

（1）求證：MN//平面PAD；

（2）求證：MN⊥平面PCD；

（3）求二面角B—PC—D的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．

【解析】

（1）取PD中點Q，連接NQ，AQ，則四邊形MNQA是平行四邊形，從而得到MN//AQ，由線面平行判定定理得MN//平面PAD；

（2）先證得AQ⊥平面PDC，由（1）得MN//AQ，從而得MN⊥平面PCD；

（3）過B作BH⊥PC于H，連接HD，BD.由已知條件得△PBC≌△PDC，從而得DH⊥PC，進而得∠BHD是二面角B—PC—D的平面角，在中，利用余弦定理求得∠BHD即可.

（1）證明：取PD中點Q，連接AQ，NQ，在△PCD中， N，Q分別為PC，PD的中點，

所以NQ//CD，且NQ＝CD，因為底面ABCD是正方形，且M為AB中點，所以AM//CD，且AM＝CD，

所以AM//NQ，且AM＝NQ，所以四邊形AMNQ是平行四邊形，所以MN//AQ，

又因為AQ平面PAD，MN平面PAD，所以MN//平面PAD.

（2）證明：因為底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，且PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，

又因為AD平面PAD，PA平面PAD，ADPA＝A，所以CD⊥平面PAD，

因為AQ平面PAD，所以CD⊥AQ，因為PA＝AD，Q是PD中點，所以AQ⊥PD，

又因為CD平面PCD，PD平面PCD，CDPD＝D，所以AQ⊥平面PCD.

由（1）得MN//AQ，所以MN⊥平面PCD.

（3）過B作BH⊥PC于H，連接HD，BD，因為PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AD，

設(shè)PA＝AD＝a，則PB＝PD＝a，又因為CB＝CD＝a，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC，

因為BH⊥PC，所以DH⊥PC，所以∠BHD是二面角B—PC—D的平面角.

由（2）CD⊥平面PAD，又為PD平面PAD，所以CD⊥PD，所以BH＝HD＝，

在中，，所以∠BHD＝120°，

所以二面角B—PC—D的大小為120°．