Question

已知二次函數(shù)同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立。設數(shù)列的前n項和。

（1）求函數(shù)的表達式；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)。令（n為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)。

Answer 1

解：（1）的解集有且只有一個元素，

當a=4時，函數(shù)上遞減，

故存在，使得不等式成立

當a=0時，函數(shù)上遞增

故不存在，使得不等式成立

綜上，得a=4，

（2）由（1）可知

當n=1時，

當時，

 

（3）由題設，

遞增，

即時，有且只有1個變號數(shù)；

又

∴此處變號數(shù)有2個。

綜上得數(shù)列的變號數(shù)為3。