Question

11．以下幾個命題中，其中真命題的序號為（　�。�
①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②設(shè)定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則動點P的軌跡為橢圓；
③拋物線y=$\frac{1}{8}$x²的焦點是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上頂點；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x．

• A． ①②③④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線，橢圓，拋物線的定義和性質(zhì)，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|OA|-|OB|=k＞|AB|，則動點P的軌跡為雙曲線
|OA|-|OB|=k=|AB|，則動點P的軌跡為兩條射線，故錯誤；
②設(shè)定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則P是AB的中點，
由AB的長度不變，則圓心C到AB的距離即CP長不變，
則動點P的軌跡為圓，故錯誤；
③拋物線y=$\frac{1}{8}$x²的標準方程為：x²=8y，故其焦點為（0，2）點，該點是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上頂點，故正確；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1的漸近線是$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=0，即y=±$\frac{1}{2}$x，故正確．
故選：D．

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了圓錐曲線的定義和性質(zhì)，難度中檔．