Question

16．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC、CD=2AB=4，∠A=$\frac{2π}{3}$，向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，則下列式子不正確的是（　�。�

• A． |$\overrightarrow$|=2
• B． |2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$
• C． 2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2
• D． $\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=1

Answer 1

分析 以等腰梯形的底AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，根據題意求出$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（2，0），再根據向量的坐標運算和向量的數量積公式和向量的模即可判斷．

解答 解：以等腰梯形的底AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
∵AB∥DC、CD=2AB=4，∠A=$\frac{2π}{3}$，
∴A（-1，0），B（1，0），C（2，$\sqrt{3}$），D（-2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（2，0），
∴|$\overrightarrow$|=2，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-3，$\sqrt{3}$），2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1×2+$\sqrt{3}$×0=-2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=-$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$=0，
故選：D．

點評 本題考查了向量的坐標運算和向量的數量積和向量的模，關鍵是建立坐標系，屬于中檔題