Question

5．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（1）求證：PA⊥AB；
（2）設(shè)M為PD的中點，求三棱錐M-PAB的體積．

Answer 1

分析 （1）取CD中點E，由已知可證ABCE是矩形，得AE⊥CD，又PC=PD，得PE⊥CD，再由線面垂直的判定可得CD⊥平面PAE，從而得到CD⊥PA，進一步得到PA⊥AB；
（2）由（1）知，PA⊥平面ABCD，再由M是PD的中點，然后利用等積法求得三棱錐M-PAB的體積．

解答 （1）證明：取CD中點E，則CE=1，
由AB∥CD，AB=1，AB⊥BC，得ABCE是矩形，∴AE⊥CD，
∵PC=PD，∴PE⊥CD，又PE∩AE=E，
∴CD⊥平面PAE，而PA?平面PAE，∴CD⊥PA，
又CD∥AB，∴PA⊥AB；
（2）解：由（1）知，PA⊥平面ABCD，
∵M是PD的中點，
∴${V_{M-PAB}}=\frac{1}{2}{V_{D-PAB}}=\frac{1}{2}{V_{P-ABD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{12}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．