Question

【題目】已知函數(shù)， ，曲線的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，求證： ；

（3）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線的方法可得函數(shù)的解析式為.

(2)構(gòu)造新函數(shù).結(jié)合函數(shù)的最值和單調(diào)性可得.

(3)分離系數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)， ，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題解析：

（1）根據(jù)題意，得，則.

由切線方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入，得，

故.

（2）令.

由，得，

當(dāng)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)， ， 單調(diào)遞增.

所以，所以.

（3）對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立.

令， ，得 .

由（2）可知，當(dāng)時(shí)， 恒成立，

令，得；令，得.

所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，故，所以.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.