Question

10．若函數(shù)y=f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$為奇函數(shù)．
（1）確定a的值；
（2）求函數(shù)的定義域；
（3）求函數(shù)的值域；
（4）討論函數(shù)的單調性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質建立方程關系即可確定a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)出來的條件即可求函數(shù)的定義域；
（3）利用分式函數(shù)的性質結合指數(shù)函數(shù)的性質即可求函數(shù)的值域；
（4）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性的性質進行討論即可判斷函數(shù)的單調性．

解答 解：（1）∵函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∴若f（x）為奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），即$\frac{a•{2}^{-x}-1-a}{{2}^{-x}-1}$=-$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$，
即$\frac{a-{2}^{x}-a•{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=-$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$，
則a-2^x-a•2^x=a•2^x-a-1，
（2a+1）=（2a+1）•2^x，
則2a+1=0，則a=-$\frac{1}{2}$．
（2）由2^x-1≠0得x≠0，即函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
（3）當a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$=$\frac{-\frac{1}{2}•{2}^{x}-1+\frac{1}{2}}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}•$$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$）=$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$，
∵2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜-1或$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞0，
則-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞1或-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜0，
即$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞1$-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜$-\frac{1}{2}$，
即函數(shù)的值域為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（4）當x＞0時，2^x-1＞0，且y=2^x-1為增函數(shù)，則y=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為減函數(shù)，y=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為增函數(shù)，y=$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為增函數(shù)，
當x＜0時，2^x-1＜0，且y=2^x-1為增函數(shù)，則y=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為減函數(shù)，y=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為增函數(shù)，y=$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$為增函數(shù)，
即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．

點評 本題主要考查綜合考查函數(shù)的定義域值域，奇偶性，單調性的性質，利用分式函數(shù)的性質以及指數(shù)函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．