Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（2）設(shè)，求證：當(dāng)時， .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析

【解析】

（1）解法一：求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)并通分，對分成兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值，求得實數(shù)的取值范圍.解法二：將原不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達法則，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.（2）解法一：先由（1）的結(jié)論，證得當(dāng)時成立.再利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時，也成立，由此證得不等式成立.解法二：將所要證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，進而證得，也即證得.

解：（1）【解法一】由得：

①當(dāng)時，由知，

在區(qū)間上為增函數(shù)，

當(dāng)時，恒成立，

所以當(dāng)時，滿足題意；

②當(dāng)時，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).

這時當(dāng)時，，

令，則

即在上為減函數(shù)，所以

即在上的最小值，

此時，當(dāng)時，不可能恒成立，即有不滿足題意.

綜上可知，當(dāng)，使恒成立時，

的取值范圍是.

【解法二】

當(dāng)時，等價于

令，則只須使

設(shè)

在上為增函數(shù)，

所以在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，

由洛必達法則知

即當(dāng)時，，所以有

即當(dāng)，使恒成立時，則的取值范圍是

（2）解法一：由（1）知，當(dāng)時，

當(dāng)時，

又

成立

故只須在證明，當(dāng)時，即可

當(dāng)時，

又當(dāng)時，

所以，只須證明即可；

設(shè)

由得：

當(dāng)，時

當(dāng)時，

即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

當(dāng)時，

成立

綜上可知，當(dāng)時，成立.

（2）解法二：由（1）知當(dāng)時，

等價于

設(shè)

由得：

當(dāng)時，；當(dāng)時，

即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

當(dāng)時，

因為時，.所以

所以成立.

綜上可知，當(dāng)時，成立.