Question

已知f（x）=

ex (x≥0) -2x(x＜0)

，則關(guān)于x的方程f[f（x）]+k=0有四個結(jié)論：
①存在實數(shù)k，使方程沒有實根
②存在實數(shù)k，使方程恰有1個實根
③存在實數(shù)k，使方程恰有2個實根
④存在實數(shù)k，使方程恰有3個實根
則正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由解析式判斷出f（x）＞0，再求出f[f（x）]的解析式，根據(jù)方程根的幾何意義，判斷出方程根的個數(shù)以及對應(yīng)的k的范圍，便可以判斷出命題的真假．

解答： 解：當(dāng)x≥0時 f（x）=e^x＞0，當(dāng)x＜0時，f（x）=-2x＞0，
所以 當(dāng)x≥0時，f[f（x）]=f[e^x]=eex，
當(dāng)x＜0時，f[f（x）]=f[-2x]=e^-2x，
當(dāng)x≥0時，f[f（x）]+k=0得到方程eex+k=0，合并x≥0可以得出，當(dāng)k≤-e時有一根，
當(dāng)x＜0時，f[f（x）]+k=0得到方程e^-2x+k=0，合并x＜0可以得出，當(dāng)k＜-1時有一根，
顯然當(dāng)k≥-1時，方程無根，
當(dāng)-e＜k＜-1時，方程可以有一個負(fù)根，
當(dāng)k≤-e時，方程有兩個不相等的根：一個＞=0，一個＜0，
所以①②③正確，
故正確的個數(shù)是3個．
故選：D

點評：本題考查了命題的真假判斷，以及方程根的根數(shù)問題，涉及到了分段函數(shù)求值，指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)應(yīng)用，考查了學(xué)生作圖能力和轉(zhuǎn)化思想．