Question

11．對于給定數(shù)列{c_n}，如果存在實常數(shù)p，q，使得c_n+1=pc_n+q（p≠0）對于任意的n∈N^*都成立，我們稱這個數(shù)列{c_n}是“M類數(shù)列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，判斷數(shù)列{a_n}，{b_n}是否為“M類數(shù)列”，并說明理由；
（2）若數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{a_n+a_n+1}、{a_n•a_n+1}是否一定是“M類數(shù)列”，若是的，加以證明；若不是，說明理由；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n的表達式，并判斷{a_n}是否是“M類數(shù)列”．

Answer 1

分析 （1）運用 M類數(shù)列定義判斷，
（2）{a_n}是“M類數(shù)列”，得出a_n+1=pa_n+q，a_n+2=pa_n+1+q，求解a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2的式子，結合定義判斷即可
（3）整體運用a_n+a_n+1=3.2ⁿ（n∈N^*），分類得出：當n為偶數(shù)時，S_n=3（2+2³+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-2，n為奇數(shù)時，S_n=1+3（2²+2⁴+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-3，化簡即可得出S_n，再運用反證法證明即可．

解答 解：（1）因為a_n+1=a_n+2，p=1，q=2是“M類數(shù)列”，
b_n+1=2b_n，p=2，q=0是“M類數(shù)列”．
（2）因為{a_n}是“M類數(shù)列”，所以a_n+1=pa_n+q，a_n+2=pa_n+1+q，
所以a_n+1+a_n+2=p（a_n+1+a_n+2）+2q，因此，{a_n+a_n+1}是“M類數(shù)列”．
因為{a_n}是“M類數(shù)列”，所以a_n+1=pa_n+q，a_n+2=pa_n+1+q，
所以a_n+1a_n+2=p²（a_na_n+1）+pq（a_n+a_n+1）+q²，
當q=0時，是“M類數(shù)列”；
當q≠0時，不是“M類數(shù)列”；
（3）當n為偶數(shù)時，S_n=3（2+2³+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-2，
當n為奇數(shù)時，S_n=1+3（2²+2⁴+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-3，
所以S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2，（n=2k，k∈Z）}\\{{2}^{n+1}-3，（n=2k-1，k∈Z）}\end{array}\right.$．
當n為偶數(shù)時a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-3）=2ⁿ+1，
當n為奇數(shù)時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-3-（2ⁿ-2）=2ⁿ-1（n≥3），
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+1，（n=2k，k∈Z）}\\{{2}^{n}-1，（n=2k-1，k∈Z）}\end{array}\right.$
假設{a_n}是“M類數(shù)列”，
當n為偶數(shù)時，a_n+1=2ⁿ⁺¹-1=pa_n+q=p（2ⁿ+1）+qp=2，q=-3，
當n為奇數(shù)時，a_n+1=2ⁿ⁺¹+1=pa_n+q=p（2ⁿ-1）+q，
p=2，q=3，
得出矛盾，所以{a_n}不是“M類數(shù)列”．

點評 本題題意很新穎，解決問題緊扣定義即可，注意分類討論，整體求解，屬于難題，運算量較大．