Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-8lnx，若對?x₁，x₂∈（a，a+1）均滿足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則a的取值范圍為0≤a≤1．

Answer 1

分析 由條件推出函數(shù)為減函數(shù)，先求出導函數(shù)，然后將函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，轉(zhuǎn)化成f′（x）=2x-$\frac{8}{x}$≤0在（a，a+1）上恒成立，即可求出所求．

解答 解：∵對?x₁，x₂∈（a，a+1）均滿足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，∴f（x）在（a，a+1）單調(diào)遞減函數(shù)，
∵f（x）=x²-8lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{8}{x}$
∵函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f′（x）=2x-$\frac{8}{x}$≤0在（a，a+1）上恒成立
∴（0，2]?（a，a+1）
∴0≤a≤1，
故答案為：0≤a≤1．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和判斷，根據(jù)函數(shù)導數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立即可得到結(jié)論．