Question

10．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}中，對任何正整數(shù)n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求b₁，b₂，并證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求a_n=n，代入已知，求得n=1，n=2的情況，可得b₁，b₂，再由b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，則b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），兩式相減可求數(shù)列b_n；
（2）同（1）可得a_n=$\frac{2-q}$•2ⁿ+$\frac{q-1}$•n+$\frac{q-2}$，結(jié)合q的取值及等差數(shù)列的通項公式可求．

解答 解：（1）證明：依題意數(shù)列a_n的通項公式是a_n=n，
n=1時，a₁b₁=4-1-2=1；n=2時，a₁b₂+a₂b₁=8-2-2=4，
則b₁=1，b₂=2，
故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，
b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
兩式相減可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1，
得b_n=2^n-1，對n=1也成立．
則數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的首項為b，公比為q，
則b_n=bq^n-1，從而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，a_n=$\frac{2-q}$•2ⁿ+$\frac{q-1}$•n+$\frac{q-2}$，
要使a_n+1-a_n是與n無關(guān)的常數(shù)，必需q=2．
即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列b_n的公比q=2時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
其通項公式是a_n=$\frac{n}$；
②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列b_n的公比不是2時，數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式及由數(shù)列的“和”轉(zhuǎn)化為“項”的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和推理論證能力．解題中體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用．