Question

3．若點P是曲線$y=\frac{3}{2}{x^2}-2lnx$上任意一點，則點P到直線$y=x-\frac{5}{2}$的距離的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意作圖，故當點P是曲線的切線中與直線$y=x-\frac{5}{2}$平行的直線的切點時，距離最��；從而解得．

解答 解：由題意作圖如下，

當點P是曲線的切線中與直線y=x-2平行的直線的切點時，距離最��；
曲線$y=\frac{3}{2}{x^2}-2lnx$
故令y′=3x-$\frac{2}{x}$=1解得，x=1；
故點P的坐標為（1，$\frac{3}{2}$）；
故點P到直線y=x-$\frac{5}{2}$的最小值為：$\frac{|1-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
故選：C．

點評 本題考查了幾何意義的運用及導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．