Question

14．已知函數$y=\frac{3+x}{x-2}，x∈[3，6]$
（1）判斷并證明函數的單調性；
（2）求此函數的最大值和最小值．

Answer 1

分析 變形可知y=$\frac{5}{x-2}$+1．（1）利用定義法判斷即可；
（2）結合（1）可知當x=3時y取最大值，當x=6時y取最小值，進而計算可得結論．

解答 解：由題可知y=$\frac{3+x}{x-2}$=$\frac{5+x-2}{x-2}$=$\frac{5}{x-2}$+1．
（1）函數y=$\frac{3+x}{x-2}$在[3，6]上單調遞減．
證明如下：
任取x₁、x₂∈[3，6]，不妨設x₁＜x₂，則$\frac{5}{{x}_{2}-2}$-$\frac{5}{{x}_{1}-2}$=$\frac{5（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
由于x₁-x₂＜0，且x₁-2＞0，x₂-2＞0，
所以$\frac{5}{{x}_{2}-2}$-$\frac{5}{{x}_{1}-2}$＜0，即函數y=$\frac{5}{x-2}$在[3，6]上單調遞減，
所以函數y=$\frac{3+x}{x-2}$在[3，6]上單調遞減．
（2）由（1）可知，當x=3時y取最大值$\frac{3+3}{3-2}$=6，
當x=6時y取最小值$\frac{3+6}{6-2}$=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查函數的單調性，考查求函數的最值，考查利用定義法判斷函數的單調性，注意解題方法的積累，屬于基礎題．