Question

3．已知拋物線x²=4y的焦點為F．
（1）已知x軸上一點E，若線段EF的中點在拋物線上，求點E的坐標；
（2）直線l過點F，與拋物線交于A、B兩點，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求直線l的斜率；
（3）若M、N為拋物線上任意兩點，且以MN為直徑的圓過原點O，求證：直線MN經(jīng)過定點，并寫出這個定點的坐標；
（4）過拋物線上一點P（-4，4）作兩條關(guān)于直線y=4對稱的直線分別交拋物線于C、D兩點，求直線CD的斜率；
（5）若斜率為2的直線與拋物線交于G、H兩點，求線段GH的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出E點坐標，再設(shè)出EF中點坐標，由中點坐標公式把中點坐標用E的坐標表示，代入拋物線方程求得E的坐標；
（2）設(shè)出直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，求出兩交點坐標，結(jié)合$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求得k的值；
（3）設(shè)M（s，$\frac{1}{4}{s}^{2}$），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$），由OM⊥ON，得到st=-16，由兩點求斜率得到直線MN的斜率為$\frac{\frac{1}{4}（{t}^{2}-{s}^{2}）}{t-s}=\frac{1}{4}（s+t）$，化簡得到$y=\frac{1}{4}（s+t）x+4$，由此可說明直線必過（0，4）點；
（4）設(shè)PC所在直線方程為y-4=k（x+4），則PD所在直線方程為y-4=-k（x+4），分別聯(lián)立兩直線方程與拋物線方程，求出C，D坐標，由斜率公式即可求得直線CD的斜率；
（5）設(shè)G、H所在直線方程為y=2x+b，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由判別式大于0求出b的范圍，由根與系數(shù)關(guān)系求得GH中點坐標，得到線段GH的垂直平分線方程，取x=0，可得線段GH的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．

解答 （1）解：由x²=4y，得F（0，1），設(shè)E（m，0），EF中點為（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{0+m=2x}\\{1+0=2y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，代入x²=4y，得$\frac{{m}^{2}}{4}=4×\frac{1}{2}$，解得：m=$±2\sqrt{2}$．
∴E（$±2\sqrt{2}，0$）；
（2）解：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{{x}_{2}=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{{x}_{2}=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$．
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，得（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1）=（2x₂，2y₂-2），即-x₁=2x₂．
把x₁，x₂分別代入-x₁=2x₂．解得：k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）證明：∵M、N為拋物線上任意兩點，∴設(shè)M（s，$\frac{1}{4}{s}^{2}$），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$），
∵OM⊥ON，∴$st+\frac{{s}^{2}{t}^{2}}{16}=0$，即st=-16，
直線MN的斜率為$\frac{\frac{1}{4}（{t}^{2}-{s}^{2}）}{t-s}=\frac{1}{4}（s+t）$，
∴直線MN利用點斜式方程為y-$\frac{1}{4}{s}^{2}=\frac{1}{4}（s+t）（x-s）$，化簡得到$y=\frac{1}{4}（s+t）x+4$．
∴直線必過（0，4）點；
（4）解：設(shè)PC所在直線方程為y-4=k（x+4），則PD所在直線方程為y-4=-k（x+4），
再設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4k+4}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得：x²-4kx-16k-16=0，
由x₃-4=4k，得x₃=4k+4，則${y}_{3}=4{k}^{2}+8k+4$；
同理求得x₄=-4k+4，${y}_{4}=4{k}^{2}-8k+4$．
則${k}_{CD}=\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}=\frac{16k}{8k}=2$；
（5）設(shè)G、H所在直線方程為y=2x+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-8x-4b=0．
由△=（-8）²+16b＞0，得b＞-4．
再設(shè)C（x₅，y₅），H（x₆，y₆），
則x₅+x₆=8，∴G，H中點橫坐標為4，縱坐標為8+b，
則線段GH的垂直平分線方程為y-8-b=$-\frac{1}{2}$（x-4），
取x=0，得y=10+b，
∵b＞-4，∴y＞6．
則線段GH的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍是（6，+∞）．

點評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識．考查了考生的基礎(chǔ)知識的綜合運用和知識遷移的能力，是中檔題．