Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l過點P（-1，2），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，再以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=3．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C分別交于M、N兩點，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=3，利用$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$即可得出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入x²+y²=9，得${t^2}+（2-\sqrt{3}）t-4=0$，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=3，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程x²+y²=9．
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入x²+y²=9，得${t^2}+（2-\sqrt{3}）t-4=0$，
設(shè)上述方程的兩根為t₁，t₂，則t₁t₂=-4．
由直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=4．

點評 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．