Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論a，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分析函數(shù)單調(diào)性即可；

（2）要證在上恒成立，即證明，在上恒成立，設(shè)，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)性求最值證明即可.

（1）

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，令得 （*）

因?yàn)?/span>所以方程（*）有兩根，由求根公式得， .

當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，，由題意知，要證在上恒成立，

即證明，在上恒成立.

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），

即，

所以在上單調(diào)遞增，，

所以在上恒成立.